首页 / 知识

如何在C＃中计算PI？

2023-04-13 22:15:00

How do I calculate PI in C#?

如何使用C＃计算PI的值？

我以为它会通过一个递归函数，如果是这样，它会是什么样子，是否有任何数学公式支持它？

我对性能不太挑剔，主要是从学习的角度来看如何进行。

如果你想要递归：

1	PI = 2 * (1 + 1/3 * (1 + 2/5 * (1 + 3/7 * (...))))

经过一些改写后，这将成为：

1	PI = 2 * F(1);

与F(i)：

1
2
3

double F (int i) {
return 1 + i / (2.0 * i + 1) * F(i + 1);
}

Isaac Newton(你之前可能听说过他;))想出了这个伎俩。
请注意，我省略了最终条件，以保持简单。在现实生活中，你需要一个。

如何使用：

1	double pi = Math.PI;

如果你想要更好的精度，你需要使用算法系统和Decimal类型。

如果你仔细看看这个非常好的指南：

并行编程模式：使用.NET Framework理解和应用并行模式4

你可以在这个可爱的实现中找到(我身边的一些细微变化)：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23

static decimal ParallelPartitionerPi(int steps)
{
decimal sum = 0.0;
decimal step = 1.0 / (decimal)steps;
object obj = new object();

Parallel.ForEach(
Partitioner.Create(0, steps),
() => 0.0,
(range, state, partial) =>
{
for (int i = range.Item1; i < range.Item2; i++)
{
decimal x = (i - 0.5) * step;
partial += 4.0 / (1.0 + x * x);
}

return partial;
},
partial => { lock (obj) sum += partial; });

return step * sum;
}

有几个非常非常古老的技巧，我很惊讶在这里看不到。

atan(1)== PI / 4，所以当一个值得信赖的反正切函数时，它是一个老栗子
现在是4 * atan(1)。

一个非常可爱，固定比率的估计，使旧西部22/7看起来像泥土
是355/113，这对于几个小数位是好的(我认为至少有三到四个)。
在某些情况下，这甚至足以用于整数运算：乘以355然后除以113。

355/113也容易记忆(对于某些人来说)：计算一，三，三，五，五，并记住你在命名分子和分子中的数字(如果你忘了哪个三元组去最重要的是，一微秒的想法通常会把它弄清楚)。

请注意，22/7为您提供：3.14285714，这在千分之一是错误的。

355/113给你3.14159292，直到百万分之一没有错。

加。到我的盒子上的/usr/include/math.h，M_PI＃define'd as：
3.14159265358979323846
就目前而言，这可能是好事。

从估算PI中得到的教训是，有很多方法可以做到，
没有一个是完美的，你必须按照预期用途对它们进行分类。

355/113是一个古老的中国估计，我相信它在多年前的22/7之前。当我还是一名本科生时，它是由一位物理教授教给我的。

不同算法的良好概述：

计算pi;
高斯 - 勒 - Salamin。

我不确定第一个链接中Gauss-Legendre-Salamin算法的复杂性(我说O(N log ^ 2(N)log(log(N))))。

我鼓励你尝试一下，但收敛速度非常快。

另外，我不确定为什么尝试将一个非常简单的程序算法转换为递归算法？

请注意，如果您对性能感兴趣，那么以有限精度(通常需要'double'，'float'，...输出)工作并不真正有意义，因为在这种情况下明显的答案就是硬编码值。

这是一篇关于在C＃中计算PI的文章：

http://www.boyet.com/Articles/PiCalculator.html

什么是PI？圆的周长除以其直径。

在计算机图形学中，你可以从初始点x，y绘制/绘制一个圆心，其中心位于0,0，可以使用一个简单的公式找到下一个点x'，y'：
x'= x + y / h：y'= y - x'/ h

h通常是2的幂，因此可以通过移位(或从双指数中减去)来轻松完成除法。 h也想成为你圈子的半径r。一个简单的起始点是x = r，y = 0，然后计算c直到x <= 0的步数，以绘制一个圆的四分之一。 PI为4 * c / r或PI为4 * c / h

递归到任何深度，对于商业程序来说通常是不切实际的，但尾递归允许递归地表达算法，同时实现为循环。递归搜索算法有时可以使用队列而不是进程的堆栈来实现，搜索必须从deadend回溯并采用另一条路径 - 这些回溯点可以放入队列，多个进程可以对点进行排队并尝试其他路径。

1	Enumerable.Range(0, 100000000).Aggregate(0d, (tot, next) => tot += Math.Pow(-1d, next)/(2next + 1)4)

计算如下：

1 2	x = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 (... etc as far as possible.) PI = x * 4

你有Pi !!!

这是我所知道的最简单的方法。

PI的值慢慢收敛到Pi的实际值(3.141592165 ......)。如果迭代次数越多越好。

这是一个很好的方法(来自维基百科的主要条目);它比上面讨论的简单公式收敛得快得多，并且如果你的意图是将递归作为一种学习练习，它非常适合递归解决方案。 (假设你是在学习经验之后，我没有提供任何实际的代码。)

基本公式与上述相同，但这种方法平均部分和以加速收敛。

定义一个双参数函数pie(h，w)，这样：

1
2
3
4
5

pie(0,1) = 4/1
pie(0,2) = 4/1 - 4/3
pie(0,3) = 4/1 - 4/3 + 4/5
pie(0,4) = 4/1 - 4/3 + 4/5 - 4/7
... and so on

因此，您探索递归的第一个机会是将"水平"计算编码为"宽度"参数增加("高度"为零)。

然后使用以下公式添加第二个维度：

1	pie(h, w) = (pie(h-1,w) + pie(h-1,w+1)) / 2

当然，它仅用于h大于零的值。

这个算法的优点在于，当您浏览逐渐变大的参数所产生的结果时，您可以使用电子表格轻松模拟它以检查代码。当您计算饼图(10,10)时，您将获得pi的近似值，该值足以满足大多数工程目的。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72

using System;

namespace Strings
{
class Program
{
static void Main(string[] args)
{

/* decimal pie = 1;
decimal e = -1;
*/
var stopwatch = new System.Diagnostics.Stopwatch();
stopwatch.Start(); //added this nice stopwatch start routine

//leibniz formula in C# - code written completely by Todd Mandell 2014
/*
for (decimal f = (e += 2); f < 1000001; f++)
{
e += 2;
pie -= 1 / e;
e += 2;
pie += 1 / e;
Console.WriteLine(pie * 4);
}

decimal finalDisplayString = (pie * 4);
Console.WriteLine("pie = {0}", finalDisplayString);
Console.WriteLine("Accuracy resulting from approximately {0} steps", e/4);
*/

// Nilakantha formula - code written completely by Todd Mandell 2014
// π = 3 + 4/(2*3*4) - 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) - 4/(8*9*10) + 4/(10*11*12) - (4/(12*13*14) etc

decimal pie = 0;
decimal a = 2;
decimal b = 3;
decimal c = 4;
decimal e = 1;

for (decimal f = (e += 1); f < 100000; f++)
// Increase f where"f < 100000" to increase number of steps
{

pie += 4 / (a * b * c);

a += 2;
b += 2;
c += 2;

pie -= 4 / (a * b * c);

a += 2;
b += 2;
c += 2;

e += 1;
}

decimal finalDisplayString = (pie + 3);
Console.WriteLine("pie = {0}", finalDisplayString);
Console.WriteLine("Accuracy resulting from {0} steps", e);

stopwatch.Stop();
TimeSpan ts = stopwatch.Elapsed;
Console.WriteLine("Calc Time {0}", ts);

Console.ReadLine();

}
}
}

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22

public static string PiNumberFinder(int digitNumber)
{
string piNumber ="3,";
int dividedBy = 11080585;
int divisor = 78256779;
int result;

for (int i = 0; i < digitNumber; i++)
{
if (dividedBy < divisor)
dividedBy *= 10;

result = dividedBy / divisor;

string resultString = result.ToString();
piNumber += resultString;

dividedBy = dividedBy - divisor * result;
}

return piNumber;
}

以下链接显示了如何根据其定义作为积分来计算pi常量，可以将其写为求和的极限，这非常有趣：
https://sites.google.com/site/rcorcs/posts/calculatingthepiconstant
文件"Pi as an integral"解释了这篇文章中使用的方法。

这是一个很好的方式：
计算一系列1 / x ^ 2的x从1到你想要的 - 更大的数字 - 更好的馅饼结果。将结果乘以6并将其乘以sqrt()。
这是c＃中的代码(仅限主要版本)：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

static void Main(string[] args)
{
double counter = 0;
for (double i = 1; i < 1000000; i++)
{

counter = counter + (1 / (Math.Pow(i, 2)));

}
counter = counter * 6;
counter = Math.Sqrt(counter);
Console.WriteLine(counter);
}

我喜欢这篇论文，它解释了如何根据Arctangent的泰勒级数展开计算π。

本文从简单的假设开始

Atan(1) = π/4 radians

可以用泰勒级数迭代估计Atan(x)

atan(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + x^9/9...

该文件指出了为什么这不是特别有效，并继续在该技术中进行许多逻辑改进。他们还提供了一个示例程序，它将π计算为几千个数字，包含源代码，包括所需的无限精度数学例程。

关于...

... how to go about it from a learning point of view.

您是否正在尝试学习科学方法？或者生产生产软件？我希望社区认为这是一个有效的问题，而不是挑剔。

在任何一种情况下，我认为编写自己的Pi是一个已解决的问题。德米特里已经展示了'Math.PI'常数。在同一个空间攻击另一个问题！去寻找通用牛顿近似值或光滑的东西。

在任何生产场景中，我都会强迫您查找该值，达到所需的小数点数，并将其存储为您的类可以到达的某个"const"。

(除非你正在编写科学的"Pi"特定软件......)

首先，请注意C＃可以使用.NET框架的Math.PI字段：

https://msdn.microsoft.com/en-us/library/system.math.pi(v=vs.110).aspx

这里的一个很好的功能是它是一个全精度双，你可以使用，或与计算结果进行比较。该URL的选项卡具有与C ++，F＃和Visual Basic类似的常量。

要计算更多位置，可以编写自己的扩展精度代码。一个代码快速且速度合理且易于编程的方法是：

Pi = 4 * [4 * arctan(1/5) - arctan(1/239)]

这个公式和许多其他公式，包括一些以惊人的速度收敛的公式，例如每学期50位，都在Wolfram：

Wolfram Pi Formulas

PI(π)可以通过使用无穷级数来计算。这是两个例子：

格雷戈里 - 莱布尼兹系列：

π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...

C＃方法：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

public static decimal GregoryLeibnizGetPI(int n)
{
decimal sum = 0;
decimal temp = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
temp = 4m / (1 + 2 * i);
sum += i % 2 == 0 ? temp : -temp;
}
return sum;
}

Nilakantha系列：

π = 3 + 4 / (2x3x4) - 4 / (4x5x6) + 4 / (6x7x8) - 4 / (8x9x10) + ...

C＃方法：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

public static decimal NilakanthaGetPI(int n)
{
decimal sum = 0;
decimal temp = 0;
decimal a = 2, b = 3, c = 4;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
temp = 4 / (a * b * c);
sum += i % 2 == 0 ? temp : -temp;
a += 2; b += 2; c += 2;
}
return 3 + sum;
}

两个函数的输入参数n表示迭代次数。

与Gregory-Leibniz系列相比，Nilakantha系列融合得更快。可以使用以下代码测试这些方法：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29

static void Main(string[] args)
{
const decimal pi = 3.1415926535897932384626433832m;
Console.WriteLine($"PI = {pi}");

//Nilakantha Series
int iterationsN = 100;
decimal nilakanthaPI = NilakanthaGetPI(iterationsN);
decimal CalcErrorNilakantha = pi - nilakanthaPI;
Console.WriteLine($"
Nilakantha Series -> PI = {nilakanthaPI}");
Console.WriteLine($"Calculation error = {CalcErrorNilakantha}");
int numDecNilakantha = pi.ToString().Zip(nilakanthaPI.ToString(), (x, y) => x == y).TakeWhile(x => x).Count() - 2;
Console.WriteLine($"Number of correct decimals = {numDecNilakantha}");
Console.WriteLine($"Number of iterations = {iterationsN}");

//Gregory-Leibniz Series
int iterationsGL = 1000000;
decimal GregoryLeibnizPI = GregoryLeibnizGetPI(iterationsGL);
decimal CalcErrorGregoryLeibniz = pi - GregoryLeibnizPI;
Console.WriteLine($"
Gregory-Leibniz Series -> PI = {GregoryLeibnizPI}");
Console.WriteLine($"Calculation error = {CalcErrorGregoryLeibniz}");
int numDecGregoryLeibniz = pi.ToString().Zip(GregoryLeibnizPI.ToString(), (x, y) => x == y).TakeWhile(x => x).Count() - 2;
Console.WriteLine($"Number of correct decimals = {numDecGregoryLeibniz}");
Console.WriteLine($"Number of iterations = {iterationsGL}");

Console.ReadKey();
}

以下输出显示Nilakantha Series返回六个正确的PI小数，迭代次数为100次，而Gregory-Leibniz Series返回五个正确小数的PI，迭代次数为100次：

enter image description here